Kva er «store tals lov», og kvifor er det nyttig å kjenne denne loven?

I dette opplegget lærer du om korleis store tals lov kan brukast til å forstå statistikk. I statistikken er tal for fødde jenter og guter eit eksempel på at tilfeldigheiter jamnar seg ut over mange år (tid) og med eit stort tal fødslar (mengde).

Store tals lov dreier seg om sannsynlegheit. Prinsippet om store tals lov i sannsynlegheitsteori seier at når talet på observasjonar aukar, vil den relative frekvensenDen andelen ein bestemt verdi utgjer av summen av verdiane i eit datasett. Når vi snakkar om empirisk sannsynlegheit, er det den relative frekvensen vi snakkar om.Lukk for ei hending nærme seg sannsynlegheita for hendinga. På ein heilt presis matematisk måte definerer vi store tals lov slik:

Store tals lov seier at når vi gjentek eit forsøk veldig mange gonger, vil den empiriske sannsynlegheitaDet vi faktisk får i forsøk. Vi kallar empirisk sannsynlegheit også for relativ frekvens og/eller observert sannsynlegheit.Lukk nærme seg den teoretiske sannsynlegheitaDet vi forventar å få ut frå matematiske prinsipp.Lukk for hendinga.

Eit generelt eksempel på store tals lov er dette: Tenk deg at du kastar ein terning. Du har 1/6 sannsynlegheit for å få kvar av verdiane 1–6 ved kvart kast. Du kastar terningen og får 6. Er det fordi det er meir sannsynleg å få 6 enn eitt av de fem andre tala? Nei, det er tilfeldig at du får 6. Dersom du kastar terningen to gonger og får to 6-arar som på biletet, vil det sjå ut som det er meir sannsynleg å få ein 6-ar enn tala 1–5. Dersom du aukar talet på kast til ti gonger og får fem 6-arar, vil det også sjå ut som det er meir sannsynleg å få ein 6-ar enn dei andre fem tala på terningen. Men dette er berre tilfeldig. Kastar du terningen eit uendeleg antal gonger, vil du få tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6 like mange gonger. Dette er store tals lov i praksis.

Korleis kan vi bruke store tals lov i kvardagen?

Å forstå og lære om sannsynlegheit kan hjelpe oss med å ta betre avgjerder i kvardagen, som for eksempel i desse situasjonane:

• Mange drøymer om å vinne ein stor premie i eit pengespel. Det kan verke som du har ein sjanse til å vinne. Nokre gonger vinn du faktisk, og det kjennest spennande. Men dersom vi overvurderer sjansen for å vinne, kan vi ende opp med å bruke meir pengar enn det som er fornuftig. Spelet er alltid laga slik at seljaren av spelet har ein liten fordel kvar gong nokon speler. Det betyr at dersom tusenvis av personar speler mange gonger, vil summen av alle resultata vise eit tydeleg mønster - seljaren av spelet vinn meir enn spelarane til slutt. Enkelt sagt: Du kan vere heldig éin gong, men dersom du speler mange gonger, vil du i gjennomsnitt tape, fordi spelet er laga slik at seljaren av spelet alltid går med overskot. Sagt på ein annan måte så seier store tals lov oss at det er usannsynleg at ein vinn når veldig mange speler.
• Reiseforsikring kan verke unødvendig dersom du tenker at “det skjer sikkert ikkje med meg”. Men forsikringsselskapa veit – frå mange tusen kundar – kor ofte uhell faktisk skjer. Ved å sjå på mange tilfelle over tid kan dei berekne kor stor risikoen er for skade og sette ein rettferdig pris på forsikringa. Store tals lov forklarer kvifor dette fungerer: Når talet på kundar er stort, vil gjennomsnittet av uhell ligge nær den sanne risikoen. Derfor kan alle betale litt, og dei få som er uheldige, får hjelp når det trengst.
• Når vi les resultat frå ei spørjeundersøking, for eksempel frå ei meiningsmåling, kan vi spørje oss: “Kan eg stole på desse tala?” Eit viktig spørsmål er kor mange som har svart. Dersom berre ti personar blir spurde, kan resultatet bli tilfeldig. Men dersom tusen veldig forskjellige personar svarer, vil gjennomsnittet av svara vere myke nærmare det som gjeld for heile befolkninga. Dette er akkurat det store tals lov viser – mange ulike observasjonar gjev meir presise resultat. 

Reflekter over desse tre spørsmåla: 

1. Kva trur du skjer med gevinsten din dersom du speler eit pengespel mange gonger over lang tid?
2. Kvifor trur du reiseforsikringa blir dyrare dersom berre få kjøper ho?
3. Kor mange trur du ein må spørje for å få eit påliteleg resultat i ei spørjeundersøking?

Myntkast og tal for fødde jenter og guter

Vi skal no sjå på eit generelt eksempel til, om myntkast, og vi skal sjå på at statistikk om kjønn ved fødsel på mange måtar minner om myntkast. Og at store tals lov gjeld både for myntkast og andelar av guter og jenter i statistikk om fødslar.

Tenk deg at du kastar ein mynt. Du har 1/2 sannsynlegheit for å få kvar av verdiane mynt (den svarte sida på biletet) og krone (den kvite sida på biletet) ved kvart kast. Du kastar ein mynt og får krone. Er det fordi det er meir sannsynleg å få krone enn mynt? Nei, det er tilfeldig at du får krone. Dersom du kastar mynt ti gonger og får mynt ti gonger, vil det sjå ut som det er meir sannsynleg å få mynt enn krone . Men dette er berre tilfeldig. Kastar du mynt eit uendeleg antal gonger, vil du få krone og mynt like mange gonger. Dette er store tals lov i praksis.

Eit eksempel frå statistikk om fødslar: Dersom du ser på tal for berre ti fødslar i eit bestemt år og på kor stor prosentdel av babyane som er guter eller jenter, får du eit mykje mindre nøyaktig tal enn dei faktiske tala for prosentdel guter og jenter blant alle dei 54 013 barna som blei fødd i Noreg i 2024. Det same vil gjelde om du for eksempel ser på fødslar i små einingar, som ein familie, ein liten kommune eller ein skoleklasse.

Gjer oppgåvene A og B.