Hva er «store talls lov» og hvorfor er det nyttig å kunne denne?

I dette opplegget lærer du om hvordan store talls lov kan brukes til å forstå statistikk. I statistikken er tall for fødte jenter og gutter et eksempel på at tilfeldigheter jevner seg ut over mange år (tid) og med et stort antall fødsler (mengde).

Store talls lov dreier seg om sannsynlighet. Prinsippet om store talls lov i sannsynlighetsteori sier at når antall observasjoner øker, vil den relative frekvensenDen andelen en bestemt verdi utgjør av summen av verdiene i et datasett. Når vi snakker om empirisk sannsynlighet, er det den den relative frekvensen vi snakker om.Lukk for en hendelse nærme seg sannsynligheten for hendelsen. På en helt presis matematisk måte definerer vi store talls lov slik:

Store talls lov sier at når vi gjentar et forsøk veldig mange ganger, vil den empiriske sannsynlighetenDet vi faktisk får i forsøk. Vi kaller empirisk sannsynlighet også for relativ frekvens og/eller observert sannsynlighet.Lukk nærme seg den teoretiske sannsynlighetenDet vi forventer å få ut fra matematiske prinsipper.Lukk for hendelsen.

Et generelt eksempel på store talls lov er dette: Tenk deg at du kaster en terning. Du har 1/6 sannsynlighet for å få hver av verdiene 1–6 ved hvert kast. Du kaster terningen og får 6. Er det fordi det er mer sannsynlig å få 6 enn et av de fem andre tallene? Nei, det er tilfeldig at du får 6. Hvis du kaster terningen to ganger og får to 6-ere som på bildet, vil det se ut som det er mer sannsynlig å få en 6-er enn tallene 1–5. Hvis du øker antall kast til ti ganger, og får fem 6-ere, vil det også se ut som det er mer sannsynlig å få en 6-er enn de andre fem tallene på terningen. Men dette er bare tilfeldig. Kaster du terningen et uendelig antall ganger, vil du få tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 like mange ganger. Dette er store talls lov i praksis.

Hvordan kan vi bruke store talls lov i hverdagen?

Å forstå og lære om sannsynlighet kan hjelpe oss med å ta bedre beslutninger i hverdagen, som for eksempel i disse situasjonene:

• Mange drømmer om å vinne en stor premie i et pengespill. Det kan virke som du har en sjanse til å vinne. Noen ganger vinner du faktisk, og det føles spennende. Men hvis vi overvurderer sjansen for å vinne, kan vi ende opp med å bruke mer penger enn det som er fornuftig. Spillet er alltid laget slik at selgeren av spillet har en liten fordel hver gang noen spiller. Det betyr at hvis tusenvis av personer spiller mange ganger, vil summen av alle resultatene vise et tydelig mønster - selgeren av spillet vinner mer enn spillerne til slutt. Enkelt sagt: Du kan være heldig én gang, men hvis du spiller mange ganger, vil du i gjennomsnitt tape, fordi spillet er laget slik at selgeren av spillet alltid går med overskudd. Sagt på en annen måte så sier store talls lov oss at det er usannsynlig at man vinner når veldig mange spiller.
• Reiseforsikring kan virke unødvendig hvis du tenker at “det skjer sikkert ikke med meg”. Men forsikringsselskaper vet – fra mange tusen kunder – hvor ofte uhell faktisk skjer. Ved å se på mange tilfeller over tid, kan de beregne hvor stor risikoen er for skade og sette en rettferdig pris på forsikringen. Store talls lov forklarer hvorfor dette fungerer: Når antallet kunder er stort, vil gjennomsnittet av uhell ligge nær den sanne risikoen. Derfor kan alle betale litt, og de få som er uheldige, får hjelp når det trengs.
• Når vi leser resultater fra en spørreundersøkelse, for eksempel fra en meningsmåling, kan vi spørre oss: “Kan jeg stole på disse tallene?” Ett viktig spørsmål er hvor mange som har svart. Hvis bare ti personer blir spurt, kan resultatet bli tilfeldig. Men hvis tusen veldig forskjellige personer svarer, vil gjennomsnittet av svarene være mye nærmere det som gjelder for hele befolkningen. Dette er akkurat det store talls lov viser – mange ulike observasjoner gir mer presise resultater. 

Reflekter over disse tre spørsmålene: 

1. Hva tror du skjer med gevinsten din hvis du spiller et pengespill mange ganger over lang tid?
2. Hvorfor tror du reiseforsikringen blir dyrere hvis bare få kjøper den?
3. Hvor mange tror du man må spørre for å få et pålitelig resultat i en spørreundersøkelse?
    

Myntkast og tall for fødte jenter og gutter

Vi skal nå se på et generelt eksemplel til, om myntkast, og vi skal se på at statistikk om kjønn ved fødsel på mange måter minner om myntkast. Og at store talls lov gjelder både for myntkast og andeler av gutter og jenter i statistikk om fødsler.

Tenk deg at du kaster en mynt. Du har 1/2 sannsynlighet for å få hver av verdiene mynt (den svarte siden på bildet) og krone (den hvite siden på bildet) ved hvert kast. Du kaster en mynt og får krone. Er det fordi det er mer sannsynlig å få krone enn mynt? Nei, det er tilfeldig at du får krone. Hvis du kaster mynt ti ganger, og får mynt ti ganger, vil det se ut som det er mer sannsynlig å få mynt enn krone . Men dette er bare tilfeldig. Kaster du mynt et uendelig antall ganger, vil du få krone og mynt like mange ganger. Dette er store talls lov i praksis.

Et eksempel fra statistikk om fødsler: Hvis du ser på tall for kun tifødsler i et bestemt år og på hvor stor andel av babyene som er gutter eller jenter, får du et mye mindre nøyaktig tall enn de faktiske tallene for andel gutter og jenter blant alle de 54 013 barna som ble født i Norge i 2024. Det samme vil gjelde om du for eksempel ser på fødsler i små enheter, som en familie, en liten kommune eller en skoleklasse.

Gjør oppgavene A og B.